A 27 esztendős védekező középpályás pályafutása során eddig mindössze két klubban szerepelt. Hazájában, a Zestafoni csapatában lett élvonalbeli labdarúgó, és a grúz csapattal a 2010/2011-es kiírásban bajnoki címet szerzett. Ezt követően, 2011-ben szerződött az ukrán Karpaty Lviv csapatába, ahol öt szezonon keresztül futballozott.

A grúz válogatottban 2008. november 19-én mutatkozott be, Románia ellen. Eddig 28 alkalommal viselte a grúz címeres mezt.

– Murtaz jelenleg is a grúz válogatott tagja – mondta Benczés Miklós, a DVTK sportigazgatója. – 28-szoros grúz válogatott játékos, aki a korosztályos nemzeti csapatokban is folyamatosan szerepelt. Elsősorban a középpálya közepén, védekező középpályásként tudunk rá számítani. Nagyon agresszív, jó labdaszerző játékos, aki kifejezetten a vezetőedző, Horváth Ferenc kérésére érkezett a Diósgyőrhöz.

– Több ajánlatom is volt, de miután megkeresett a DVTK, nem sokat gondolkodtam, eldöntöttem, hogy ide jövök – mondta Murtaz Daushvili. – Ukrajnában és előtte Grúziában is négy és fél évet játszottam, itt is hosszú távra tervezek. Ha a vezetőség meg lesz velem elégedve, akkor szeretnék minél tovább maradni. Ez persze a pályán nyújtott teljesítményemtől is függ, hiszen, ha rosszul játszom, akkor nem fognak marasztalni. Ilyen a labdarúgók élete. Magamról talán annyit, hogy munkamániás vagyok, és nagyon alázatos. Mindent megteszek a csapatomért. Ha jól fogok játszani, akkor bízom benne, hogy a szurkolók hamar megkedvelnek.